Tento text je úryvkem z knihy

Vojtěch Kolman: Filosofie čísla – základy logiky a aritmetiky v zrcadle annalytické filosofie

Filosofia, Praha 2008

O knize na Kosmas.cz

***

Svůj paradox založil středoškolský učitel Jules Richard [1905] na aplikaci Cantorovy diagonální metody. Byl publikován v následujícím znění:

Uvažujme celek všech reálných čísel z intervalu (0, 1) popsatelných (definovatelných) konečně mnoha slovy. Takových popisů je jen spočetně mnoho, čísla jimi označovaná lze tedy seřadit v posloupnost. S odkazem k ní můžeme diagonální metodou sestrojit jméno čísla, které v této posloupnosti není. Toto jméno je ale konečné, příslušné číslo by tam tedy zároveň být mělo.

Mezi sémantické paradoxy patří také paradox Berryho, jenž představuje chytré zjednodušení výše uvedeného Richardova paradoxu. Oba paradoxy jsou spřízněny i tím, že jejich autorem není profesionální mate- matik, což svědčí o tom, jakému zájmu se problematika paradoxů tehdy těšila.

G. G. Berry, knihovník Bodleyovy knihovny, zaslal v letech 1904 až 1910 Russellovi deset dopisů s paradoxy, které sám vymyslel. Právě první z nich, poprvé publikovaný Russellem [1908], nese tradičně Berryho jméno:

Uvažujeme-li ordinální čísla popsatelná konečně mnoha slovy, pak musí existovat první, které takto popsatelné není. My jsme ho ale právě konečně mnoha slovy popsali.

Tuto antinomii lze samozřejmě formulovat i pro méně kontroverzní případ čísel přirozených, totiž když uvažujeme pouze totalitu všech čísel popsatelných nějakým omezeným počtem písmen či slabik.

Případ dalšího paradoxu, tzv. Königova, je zajímavý již pro své dramatické pozadí. Maďarský matematik Julius König vystoupil roku 1904 na mezinárodním matematickém kongresu v Heidelbergu s příspěvkem Zum Kontinuum-Problem, který měl ukázat, že kontinuum není rovno ani prvnímu nespočetnému, ani žádnému jinému ℵ, v důsledku čehož nepadá jen Cantorova hypotéza kontinua, kterou Hilbert [1900b] ve své přednášce na předchozím kongresu v Paříži zařadil do čela dosud ne- vyřešených významných matematických problémů, ale i věta o dobrém uspořádání. Na kongresu v Heidelbergu byl Cantor také přítomen a na Königův příspěvek reagoval prý velmi emotivně. Podle Kowalewského [1950, s. 202] děkoval Bohu, že mu dovolil dožít se vyvrácení svých omylů, podle Schoenfliese [1922, s. 101 n] však vzápětí vyzýval ostatní, aby Königovo tvrzení vyvrátili. Königovo vystoupení tak jako tak vzbudilo menší senzaci, objevu byly věnovány titulky v lokálním tisku a sám bádenský velkovévoda se nechal informovat o jeho podstatě. Jelikož se König mezi kolegy těšil vynikajícímu renomé, upírala se naděje příznivců hypotézy k vyvrácení některého z užitých předpokladů. To se ukázalo být úspěšné.

Zermelo údajně již den nato objevil, že nespolehlivým článkem řetězu je jeden z výsledků Bernsteinovy disertace, který neplatí obecně. Cantor mohl být tedy spokojen. — Příští rok publikoval nicméně König [1905a] jinou, méně formální verzi svého důkazu, která je nazývána Königovým paradoxem:

Přestože je reálných čísel nespočetně mnoho, těch, která lze pojmenovat konečným výrazem, je jenom spočetně. Pokud lze kontinuum dobře uspořádat, můžeme vzít nejmenší číslo, které takto pojmenovatelné není. Právě tím jsme ho ale pojmenovali.

Takto jsme dospěli k poslední antinomii Poincarého výčtu. Není přitom pochyb, že jsou si všechny předvedené paradoxy, resp. paradoxní argumenty v nějakém smyslu podobné, dokonce velmi podobné. To nám ale přesto neumožňuje zacházet s nimi podle téhož schématu. Tak např. v případě Königova paradoxu můžeme v souladu s úmyslem jeho autora snadno napadnout právě možnost uspořádání reálných čísel, což u analogicky vystavěného paradoxu Berryho nedává smysl, neboť ordinální čísla, která v něm uvažujeme, byla Cantorovými generativními principy jako

dobře uspořádaná zavedena. V souladu s Quinovým [1966, s. 3] rozlišením bychom takto mohli Königův paradox považovat za tzv. paradox veridický, tj. tvrzení, které se může zdát zprvu záhadné, bližší ohledání však ukáže, že je pravdivé. Tím tvrzením samozřejmě není paradox sám, ale věta: “kontinuum nelze dobře uspořádat”. — Jako příklad antinomie veridického typu uvádí Quine jednu z Russellem navržených populárních variant Russellova paradoxu, tzv. paradoxu holiče:

Ve vesnici je člověk, jenž je holičem. Tento člověk holí všechny a pouze ty obyvatele vesnice, kteří se neholí sami. Otázka je, zda se holí sám.

Předpokládáme-li, že existují pouze dvě neslučitelné alternativy (holí se sám nebo se neholí sám), pak musíme z toho, že nás každá z nich dovede vždy k té druhé, a tedy ke sporu, usoudit, že ve vesnici neexistuje žádný takový holič. To je vše.

Tento způsob ‘řešení’ je samozřejmě velmi svůdný a je vlastně obsažen i v teorii omezení velikosti, která prostě prohlásí množinu všech předmětů či všech předmětů nenáležejících sama sobě za neexistující, nekonzistentní (Cantor), netvořící totalitu (Russell). V krajním případě můžeme tak jako Poincaré [1906b, § 15] odmítnout aktuální nekonečno vůbec. Rozdíl oproti případu s holičem je ovšem ten, že lidé ve zmíněné vesnici existují nezávisle na tom, zda jednoho z nich nazýváme či ne- nazýváme holičem. U množin je však tato nezávislost na pojmenování pochybná, tj. nejprve musíme nějaká pojmenování mít, aby se jiná, jako např. {x | x /∈ x}, ukázala být nemožná, selhávající ve své deskriptivní roli. Těžko tedy prohlašovat některé množiny za neexistující, když nemáme žádná jasná kritéria jejich existence!

Tím nemá být řečeno, že je existence obyvatel holičovy vesnice zcela nezávislá na jazyku. Podstatné je, že kritéria, která jejich identitu coby fyzických (a tedy holitelných) bytostí vymezují, jsou nezávislá na dodatečných kritériích toho, zda je někdo z nich holičem, který holí všechny a pouze ty, kdo neholí sama sebe! Naším průběžným závěrem je, že zatímco Poincarého ‘pravé řešení’ paradoxů vyloučením aktuálního nekonečna nedává na tomto jazykově-analytickém pozadí příliš smysl nebo je podstatně vágní, navržená léčba bludným kruhem je v zásadě správná.

Foto: Wikipedia, licence obrázku 

Creative Commons Attribution ShareAlike 2.0

autor