Student World

(pokračování včerejšího textu)

Architektura kapsidy viru je důležitá pro biologii, protože pomáhá při analýze obrázků virů (takových, jaké se získávají pomocí rentgenové krystalografie) a při vytváření modelů toho, jak se viry skládají. Dvacetistěnná struktura neurčuje pouze celkový tvar virů, tvoří podstatu uspořádání bílkovinných jednotek.
Až donedávna platil základní teoretický popis architektury kapsid, který v roce 1962 společně odvodili biofyzici Donald Caspar ze Spojených států a Aaron Klug z Velké Británie. Dvacetistěnný plášť viru je tvořen trojúhelníkovými sestavami kapsomer, které k sobě přiléhají jako stěny dvacetistěnu. Každý trojúhelník se skládá z řad kapsomer uspořádaných jako koule na začátku kulečníkové hry. Při podrobnějším pohledu zjistíme, že to ještě není vše. Řady kapsomer mohou být zalomené, takže některé řady běží ke straně trojúhelníku, ohnou se na ní a pokračují do dalšího trojúhelníku. Přírodě zřejmě formování takových tvarů nevadí, z matematického hlediska jsou však trochu zvláštní. Abychom je mohli pochopit, je nejprve třeba stanovit jejich matematický charakter a najít jejich společné rysy.
Většina kapsomer je, podobně jako koule na začátku biliáru, obklopena šesti dalšími kapsomerami (to jsou tzv. hexamery). Některé z nich (pentamery) jsou však obklopeny jen pěti. Ukazuje se, že tato podmínka vyplývá z geometrie. Jestliže kapsidu viru znázorníme jako mnohostěn tak, že jeho vrcholy umístíme do kapsomer a sousední kapsomery spojíme hranami, pak hexamery budou vrcholy ležící na šesti hranách a pentamery budou vrcholy na pěti hranách. Již z této skutečnosti vyplývají podmínky pro možný počet kapsomer. Jeden z největších matematiků všech dob Leonhard Euler objevil vzorec vyjadřující vztah mezi počtem stěn, hran a vrcholů těles. Konkrétně pro mnohostěn, který je topologicky ekvivalentní kouli, platí

s – h + v = 2,

kde s je počet stěn, h je počet hran a v je počet vrcholů. Pro krychli například platí s = 6, h = 12, v = 8 a 6 – 12 + 8 = 2. Tomuto obecně platnému faktu se říká Eulerův vzorec pro mnohostěny. Jednoduchý výpočet vycházející z tohoto vzorce ukazuje, že každý plášť viru složený jen z hexamerů a pentamerů musí obsahovat přesně 12 pentamerů. Takový postup sice neurčuje, kde se nalézají, dokazuje však, že tam být musí.
Caspar s Klugem sledovali tuto topologickou stopu. Nejprve zkoumali šroubovicovité viry a pak se začali zabývat dvacetistěnnými viry. Základní matematickou úlohou zde je srovnat soustavu stejných jednotek do tvaru blízkého kouli a přitom brát ohled na to, že vztahy mezi přilehlými jednotkami jsou pravděpodobně omezeny chemickými vazbami. Nejjednodušší případ nastává, když existuje jen jeden takový vztah. Geometricky to znamená, že každá jednotka je obklopena přesně stejnou sestavou přilehlých jednotek. Z toho dále vyplývá vysoký stupeň symetrie, který pro stručnost nazveme „perfektní symetrie“, a okamžitě se nabízí představa pravidelných těles.
Dvacetistěn je nejvhodnějším kandidátem, protože se ze všech nejvíc blíží kouli. Navíc obrazy několika virů získané elektronovými mikroskopy dvacetistěny připomínají, i když Caspar s Klugem upozornili, že to „nutně neznamená, že na molekulární úrovni jde o symetrii dvacetistěnu“.
Požadujeme-li perfektní symetrii, pak se do dvacetistěnného uspořádání zřejmě vejde buď dvanáct, nebo dvacet jednotek – dvanáct, jsou-li umístěny do vrcholů, dvacet v případě, že jsou ve středech stěn. Největší počet jednotek, které lze sestavit tak, aby každá z nich měla stejné bezprostřední okolí, je šedesát. Tento počet by vzrostl na 120, kdybychom za identické považovali i zrcadlové obrazy. To však nelze očekávat, protože biologické molekuly mívají zvláštní „pravolevou“ orientaci.
Dostáváme se tedy opět k symetrii dvacetistěnu.

Počet jednotek u viru s perfektní symetrií tedy musí být 12, 20 nebo 60. Žádný z virů, které Caspar a Klug znali, však tyto počty nevykazoval a většina z nich měla dokonce víc než šedesát jednotek. Ve skutečnosti u žádného viru nebyl počet jednotek násobkem šedesáti, čehož lze dosáhnout určitým zmírněním požadavku na perfektní symetrii. Nejpravděpodobnějším východiskem je ještě více zmírnit podmínky perfektní symetrie.
Caspar s Klugem našli neobvyklý zdroj inspirace u architekta Buckminstera Fullera, který měl zálibu v geometrických tvarech. Jedním z jeho slavných nápadů je geodetická klenba přibližně kulového tvaru vytvořená spojením velkého počtu trojúhelníkových panelů. Taková kupole byla představena jako pavilon na Světové výstavě v New Yorku v roce 1964 a polokulovou verzi lze nalézt v komplexu Eden Project v britském Cornwallu.
Geodetickou kupoli nelze udělat z rovnostranných trojúhelníků tak, aby se jich šest dotýkalo v jednom vrcholu, protože by vytvořily rovinnou plochu. Fuller navázal na několik předchůdců a zjistil, že trojúhelníky, které jsou skoro rovnostranné, lze sestavit do tvaru kulové klenby. Takové sestavy nemají perfektní symetrii, vrcholy trojúhelníků mají dva různé druhy okolí. Aby byl splněn Eulerův vzorec, některé z trojúhelníků se musejí stýkat po pěti v jednom vrcholu, jiné po šesti. Caspar a Klug zjistili, že přilehlé jednotky v kapsidách jsou sice obecně k sobě spojeny stejnou soustavou chemických vazeb, tyto vazby však mohou být poněkud pokřiveny, takže se u jednotek, které nejsou v symetrickém vztahu, mohou vazebné úhly trochu lišit.
Experimenty nositele Nobelovy ceny Linuse Paulinga ukazují, že se vazebné úhly mohou od svých průměrných hodnot odchylovat asi o 5°, což umožňuje jistou přizpůsobivost.
Caspar s Klugem dospěli k nekonvenční skupině těles nazvaných pseudodvacetistěny, které dobře znají specialisté na geometrii, ale většina matematiků o nich neví. Jsou to tělesa, která připomínají dvacetistěny, ale nejsou tak pravidelná.
Lze je sestrojit z dláždění roviny rovnostrannými trojúhelníky.

…

Casparova–Klugova teorie se hodí na mnoho různých dvacetistěnných virů, jsou však i výjimky. Před čtyřiceti lety si Nicholas Wrigley všiml, že některé dvacetistěnné viry tuto pseudodvacetistěnnou architekturu nemají. Místo toho je lze popsat pomocí takzvaných Goldbergových mnohostěnů, což jsou hexagonální sestavy na povrchu dvacetistěnu. Ani tyto struktury však nestačí na klasifikaci uspořádání kapsomer v dvacetistěnných virech. Například Robert Liddington se svými kolegy v roce 1991 upozornil na to, že polyomavirus má mnohem více pentamerů než oněch 12, které se nacházejí v pseudodvacetistěnech a v Goldbergových mnohostěnech.
Bylo tedy třeba najít nějaký obecnější matematický popis.
Hra čísel pseudodvacetistěnných virů.
počet kapsomer/virus
32 virus žluté mozaiky
42 bakteriofág ΦR
72 králičí papilom
72 lidský papilomavirus
92 reovirus
162 herpesvirus, plané neštovice
252 adenovir typu 12
362 psí infekční žloutenka

Biologové tou dobou již mysleli na jiné věci, ale matematici ještě nad výjimkami hloubali. Kolem roku 2000 vybudovala německá matematička Reidun Twarocková se svým výzkumným týmem na univerzitě v Yorku obecnější teorii geometrie virů založenou na principech symetrie, které jsou velmi podobné teorii grup dvacetistěnu.
Je v tom jediný rozdíl: geometrie se nyní odehrává ve čtyřech dimenzích, ne jen ve třech.
Tento text je úryvkem z knihy
Ian Stewart: Matematika života
Academia, Praha 2014
O knize na stránkách vydavatele

autor