Téměř všechno, co je možné dělat s jednorozměrnými reálnými čísly, je možné dělat i s dvojrozměrnými čísly komplexními. Ve skutečnosti, řada věcí tu funguje lépe, neboť s komplexními čísly je možné řešit více rovnic než s čísly reálnými.
Když systém s jednou imaginární jednotkou poskytuje větší výpočetní sílu, jakou sílu by mohl poskytnout číselný systém s více imaginárními jednotkami?
První pokusy s dvěma imaginárními jednotkami nebyly úspěšné (W. R. Hamilton). Sčítání a odčítání bylo snadné, vše troskotalo na dělení. Aby uspěl, změnil W. Hamilton uvažování. Přišel na to, že potřebuje tři imaginární jednotky současně. Tak vznikl čtyřrozměrný systém čísel a + ib + jc + kd, tzv. kvaternionů. Čísla i, j a k jsou tři různé odmocniny z -1 . Tři souřadnice popisují rotace, čtvrtá roztahování a zkracování. Kvaterniony bývají nahrazovány jednoduššími vektory, které je možné brát jako kvaterniony zvláštního tvaru 0 + ia + jb + kc. Kvaterniony mají své využití v trojrozměrných rotacích objektů, v počítačových hrách a programech.
Opět je tu však zvědavost, co jsou j a k, když číslo i značí odmocninu z -1 , a jak je vykládat.
Dva roky po kvaternionech byly objeveny oktoniony (A. Cayley). Osmirozměrný číselný systém používající 7 imaginárních jednotek, tj. 7 různých odmocnin −1 . Je však ještě podivnější. Již kvaterniony ale byly podivné. U reálných i komplexních čísel nezáleží, v jakém pořadí je násobíme, např. 2 . 5 = 5 . 2. Jejich násobení je tzv. komutativní. Je i asociativní, což znamená, že platí například známé (2 . 5) . 3 = 2 . (5 . 3).
Násobení kvaternionů komutativní není. Oktoniony jdou ještě dále, jejich násobení není ani asociativní. Nebylo jasné, k čemu oktoniony použít, než k rotacím v sedmi- nebo osmirozměrném prostoru. Nyní se uvažuje o jejich využitelnosti v tzv. M-teorii.
Obyčejně je možné násobit čísla v libovolném pořadí 2 . 5 = 10 podobně jako 5 . 2 = 10. Ve vícerozměrových číselných systémech, jakými jsou kvaterniony a oktoniony, je pořadí operací důležité. V případě kvaternionů popisujících rotace v třírozměrném prostoru lze vzít nějaký objekt, např. knihu, a ukázat, že pořadí, ve kterém se s knihou otáčí, má rozhodující účinek pro konečnou orientaci knihy. Kniha se nejdříve svisle převrátí a potom přetočí. Poté se změní pořadí operací a kniha se nejdříve přetočí a poté převrátí. Výsledná orientace knihy přitom závisí na pořadí těchto operací.
Tento text je úryvkem z knihy:
Petr Klán: Čísla. Vztahy, vhledy a věčné inspirace
Academia 2014
Kniha na webu vydavatele
