Fakt („fakt“?), že sudých čísel je stejně jako celých, Hilbertovy hotely, hypotéza kontinua, spočetná (seřaditelná) a nespočetná množství… Vypadá to jako čirý formalismus – s tím, že by se třeba matematika dala budovat i jinak. Jedná se o hezké hříčky do populárních knih, ale bez přesahu do reálného světa, ať už jde o fyziku, inženýrství nebo teorie algoritmů. Ale co když je to trochu jinak?
V nedávno česky vydané Smolinově knize Znovuzrozený čas, ale i v řadě dalších populárních publikací na téma kosmologie se operuje se scénářem „věčného“ velkého třesku, nekonečného vesmíru s oblastmi oddělenými horizontem apod. Viz třeba Brian Greene: Skrytá realita (úryvek zde). V jedné verzi problému zní vše takto: do určitého prostoru lze vtěsnat jen určité množství částic, ta lze jen určitým počtem způsobů uspořádat. Jsou-li tato uspořádání náhodná, pak by v průměru od nás další úplně stejná část vesmíru (ovšem oddělená horizontem, takže spíše jiný, nepozorovatelný a neinteragující vesmír) měla být 10 na 10 na 122 metru.
Max Tegmark (podle Clifford A. Pickover: The Physics Book) odhaduje, že nejbližší totožná kopie našeho vesmíru je od nás vzdálena 10 na 10 na 100 metru. Ne že by rozdíl v číslech byl nějak důležitý.
K tomu se přidávají teorie paralelních světů vznikajících větvením při kolapsu vlnové funkce, či modely kosmologické evoluce, kde vesmíry vytvářejí vesmíry dceřiné. Jiné představy pracují s paralelními vesmíry, kde neexistují pouze různá uspořádání částic, ale i různá fyzika – třeba v důsledku různých počátečních podmínek, různé velikosti konstant nebo i prostě různé podoby fyzikálních zákonů.
Důležité ale je, že v mnoha těchto scénářích se náš pozorovaný vesmír nejen opakuje, ale ještě navíc nekonečněkrát.
Zajímá-li nás, v jakém ohledu jsou vlastnosti našeho vesmíru nějak typické nebo speciální (antropický princip), nebo jaké dosud nezměřené vlastnosti bychom měli očekávat, narážíme právě na problém s nekonečny a jejich porovnáváním. Smolin soudí, že kvůli tomu vlastně nemůžeme předpovídat nebo odhadovat vůbec nic. Sudých čísel podle Cantorovy logiky není méně než celých a je-li všech možností nekonečně, jsou pak všechny stejně pravděpodobné. (Pracujeme s verzí, že vesmírů je spočetně, i když vlastně – jak je číslovat? Připustíme-li si třeba vesmíry s různými fyzikálními konstantami, které mohou nabývat hodnot reálných čísel, je to ještě složitější.)
Kritika praví: Z multiverza a multivesmírů neplynou žádné testovatelné předpovědi. Nemůžeme pak ani testovat otázky kolem simulačního argumentu/virtuální reality, ani to, zda náhodou nejsme Bolztmannovými mozky (na toto téma viz článek zde) vzniklými ne biologickou evolucí, ale náhodnou fluktuací v nekonečně dlouhém čase. „…je značně snížena schopnost fyziky podávat předpovědi, protože pravděpodobnosti neznamenají to, co si myslíte, že znamenají. Uvažujme experiment, pro který kvantová mechanika předpovídá, že výsledek A má pravděpodobnost 99 % a výsledek B 1 %. Představte si, že byl experiment proveden tisíckrát. Pak očekáváte, že zhruba v 990 případech bude výsledek A. Připadalo by vám, že můžete s klidem vsadit na A, protože můžete samozřejmě předpokládat 99 A na každé B. Měli byste dobrou šanci, že předpověď kvantové mechaniky se potvrdí. V nekonečném vesmíru ale existuje nekonečné množství vašich kopií provádějících tentýž experiment. Nekonečně mnoho z těchto kopií zaznamená výsledek A. Existuje však také nekonečně mnoho vašich kopií, které zaznamená výsledek B. Takže předpověď kvantové mechaniky, že jeden z výsledků je 99krát častější než druhý, nelze v nekonečném vesmíru ověřit,“ uvádí Smolin. Mimochodem pak asi nejde ani argumentovat tím, že simulovaný vesmír je pravděpodobnější než „původní fyzikální“ – zase, je-li všeho nekonečně…
Smolin celou svou úvahu doprovází dost hloupým tvrzením, že tak svět nefunguje, protože v takovém světě by nic nemělo smysl: ať se jakkoliv rozhodnu, stejně v nekonečně případů bude existovat svět, kde jsem se rozhodl opačně apod. Když nic jiného – to, že nějaká představa se nám nelíbí, sotva co vypovídá o její pravdivosti. Ponechme nicméně stranou další Smolinovy názory (sotva korespondující se současným hlavním proudem fyziky); na otázku porovnávání nekonečen se totiž naráží v poslední době v celé řadě populárně kosmologických knih, aniž by byl naznačen nějaký způsob řešení. Kde je zakopaný pes?
Poznámky:
– Dotazovaní lidé s matematickým vzděláním tvrdili, že problém zde žádný není; pravděpodobnost je otázkou míry, s kardinalitou apod. nesouvisí. I když tedy např. sudých čísel je „stejně“ jako celých ve smyslu, že obě množiny mají stejnou kardinalitu, z klobouku s celými čísly vytáhneme samozřejmě sudé číslo jen v 1/2 polovině případů atd.
– Je-li to tak, proč se popularizačních knihách (a to i knihách napsaných vědci, nikoliv publicisty, viz Smolin) na tento problém v poslední době tedy často naráží?