Student World

Překvapivě je tento více než 2000 let starý problém dodnes moderní a inspiruje například při řešení navigačních úloh.

Zadání nejznámější, tzv. obecné Apollóniovy úlohy je následující: Sestrojte kružnici, která se dotýká tří daných kružnic. Jednoduchou úvahou zjistíme, že obecná úloha může mít až osm řešení (obr. 9). Hledaná kružnice má dvě možnosti dotyku (vnější a vnitřní) s každou zadanou kružnicí, dohromady tedy 2 na 3 = 8 možností, jak se může daných kružnic dotýkat. Skutečný počet řešení dané úlohy ale závisí na poloze kružnic. Úloha nemusí mít žádné řešení (obr. 1), dvě (obr. 2), čtyři (obr. 3), šest, anebo i nekonečně mnoho řešení (obr. 4). Všech 33 případů vzájemné polohy zadaných prvků bylo popsáno až v roce 1983.

Úpravou zadání, kdy kružnice přejde v bod (kružnice s nulovým poloměrem) a kdy kružnice přejde v přímku (kružnice s nekonečně velkým poloměrem), získáme další Apollóniovy úlohy. Ze zadání úlohy se dá odvodit

počet jejích možných variant. Máme tři druhy geometrických objektů – bod (B), přímku (p) a kružnici (k). Hledáme kombinace s opakováním 3 prvků ze tří druhů. Existuje tedy devět speciálních případů obecné úlohy kkk. Jsou to úlohy BBB, BBp, BBk, Bpp, Bpk, Bkk, ppp, ppk, pkk.

Apollónius řešil úlohy pomocí kružítka a pravítka, přičemž znal stejnolehlost i kruhovou inverzi. Existují ale i jiné metody, např. užitím kuželoseček, cyklografie, deskriptivní geometrie, geometrie projektivní (kolineace) apod. Při řešení některých úloh vystačíme se znalostmi středoškolské geometrie. Úlohy BBB a ppp řešil již Eukleidés ve svém díle Základy (Stoicheia), když sestrojil kružnici vepsanou a opsanou trojúhelníku. Úlohy Bpp, ppk vyřešíme užitím stejnolehlosti (obrázky 5 a 6), zadání BBp (obr. 7) je hezkým příkladem na procvičení mocnosti bodu ke kružnici a pro BBk (obr. 8.) lze užít potenčního středu tří kružnic.

Zbývající čtyři úlohy Bpk, Bkk, kkp, kkk jsou náročnější. Pomocí kruhové inverze nebo dilatace je můžeme převést na jednodušší typ. Řešení kruhovou inverzní je elegantní a poměrně snadné, není to ale zdaleka jediná možnost. Isaac Newton přeformuloval úlohu jako problém lokalizace bodu, známe-li rozdíly vzdáleností tohoto bodu od tří pevně daných bodů. Za zmínku stojí řešení Ponceletovo, Gergonnovo nebo Fouchéovo. Výhodou Fouchéovy metody je neměnnost konstrukce, spolehlivost a možnost zobecnění do prostoru. První algebraické řešení navrhl již René Descartes, praktické algebraické metody pak vznikaly za přispění L. Eulera, F. Gausse či L. Cauchyho.

Zobecnění Apollóniovy úlohy do prostoru. Jsou dány 4 kulové plochy, sestrojte kulovou plochu, jež se všech daných dotýká (obr. 10). Při obecném zadání můžeme najít až 16 řešení. Tato úloha má své široké uplatnění v satelitním navigačním systému (Global Positioning System). Zeměpisné souřadnice přijímače jsou určovány ze vzdáleností od satelitů. Pro určení polohy je třeba příjmu z minimálně 4 satelitů. Pokud by byly vzdálenosti od satelitů určeny přesně, ležel by přijímač v průsečíku 4 kulových ploch. Takovýto ideální případ ale nikdy nenastane, protože čas mezi přijímačem a satelitem není synchronizovaný. Pro výpočet časového offsetu je řešena Newtonova formulace Apollóniovy úlohy v prostoru.

Pappovy úlohy jsou speciální případem Appolóniových úloh, kdy jedním ze zadávajících prvků je přímo bod dotyku. Úlohy jsou tímto zadáním jednodušší, všech šest typů můžeme řešit středoškolskou geometrií. Máme-li v zadání bod ležící na kružnici, sestrojíme v tomto bodě tečnu a úlohu převedeme na hledání kružnice, která se dotýká přímky v tečném bodě. Úlohy BpT, ppT (popř. BkT, pkT) řešíme užitím množin bodů daných vlastností, pro úlohu kpT (a tedy i kkT) použijeme stejnolehlost.

Tento text je úryvkem z knihy

Šárka Voráčová a kol.: Atlas geometrie, Academia 2012, 2013

O knize na stránkách vydavatele

autor