Student World

Dokonalé číslo je takové, které je součtem svých dělitelů. Respektive – protože číslo je dělitelné mj. i samo sebou, počítá se tento součet právě bez "čísla jako takového". Jaká čísla jsou dokonalá a jaké mají obecně vlastnosti?

Studium dokonalých čísel se začalo rozvíjet už v době Pythagorově. Za dokonalá se označovala např. čísla,která jsou součtem čísel nižších (např. 10 = 1 + 2 + 3 + 4), nicméně v užším slova smyslu zůstalo toto označení číslům vyhovujícím výše uvedené větě o dělitelnosti. Tj. např. 6,jehož děliteli, pokud pomineme vlastní šestku, jsou čísla 1, 2 a 3 (1 + 2 + 3 = 6).
Další dokonalá čísla v pořadí jsou 28 a 496. Jejich frekvence rychle klesá, trochu podobně jako u prvočísel.
Jaké pravidlo platí pro dokonalá čísla? Eukleides odvodil, že jde vždy o součin dvou mocnin dvojky, přičemž druhá je ta následující zmenšená o jedničku. Tedy srozumitelněji
dokonalé číslo = 2 exp n * [(2 exp n + 1]- 1). Jde však o podmínku nutnou, nikoliv dostačující: např. 2 exp 3 * (2 exp 4 – 1) = 8 * 15 = 120, což dokonalým číslem není.

(Poznámka: tato nutná podmínka platí pro dokonalá čísla sudá; pokud by nějaké dokonalé číslo bylo liché – což není jisté, viz dále – pak pro něj vzorec pochopitelně platit nebude. 2 exp cokoliv je číslo sudé, ať už druhý činitel bude jakýkoliv, výsledek násobení nemůže být lichý)

Zajímavá je i jiná kategorie čísel, a to totiž čísla, která jsou "skoro-dokonalá", tedy u nichž se součet dělitelů liší od zadaného čísla o jedničku. Dosud se přitom nepodařilo najít číslo, které by bylo o jedničku větší,než součet jeho dělitelů,což byl problém, který trápil již matematiky antické.

Obdobná jako dokonalá číslajsou čísla spřátelené – to jsou dvojice, u kterých platí, že dělitelé jednoho dávají dohromady číslo druhé – a naopak. Nejmenší dvojicí jsou čísla 220 a 284 ísamozřejmě se do součtu dělitelů opět nezapočítává vlastní číslo, tj. 220 a 284).

(Zdroj: Simon Singh: Velká Fermatova věta, Academia, Praha, 2000)

Věnujte také pozornost internetovým distribuovaným projektům, které se snaží o nalezení největšího prvočísla. Existuje totiž vztah mezi prvočísly a dokonalými čísly… Přitom mimochodem dodnes není známo, zda dokonalých čísel je či není konečný počet, ani zda nějaké dokonalé číslo může být liché (zatím jsou všechna nalezená dokonalá čísla sudá).

autor Pavel Houser