Student World

O tom, co je to Dopplerův jev, již většina z nás nejspíš někdy slyšela. Zajímavé a snad i celkem netriviální jsou však jeho aplikace v relativistické fyzice. Existence rudého posunu se přitom standardně pokládá za důkaz rozpínání vesmíru – přece jen ale zbývá několik nejasností…

V čem je problém? Standardní výklad Dopplerova jevu se podává třeba na zvukovém vlnění. Frekvence (respektive vlnová délka) zvuku vlaku, který se od nás přibližuje/vzdaluje, se budou vzájemně lišit. Vzdalující se vlak bude dunět nižšími tóny (větší vlnová délka – nižší frekvence). Představit si to můžeme poměrně jednoduše: Přijíždějící vlak funguje stejně, jako kdybychom se k vlaku blížili my sami a zvukovým vlnám "šli vstříc", zkracovali je.
Jak už ukazuje název rudý posun, světlo se v tomto případě posouvá ve směru k vyšším vlnovým délkám. Galaxie se tedy od nás (i od sebe) vzdalují. Vše je jasné, až na jednu maličkost…

Vzpomeňte si na první učebnicové výklady speciální teorie relativity, které se vám kdy dostaly do rukou, třeba na příklady/obrázky s paprsky v jedoucích vlacích. Rychlost světla je samozřejmě konstantní a nijak nezávisí na tom, jak se pohybujete vůči jeho zdroji. Světlo ze vzdalujících se nebo blížících se galaxií k nám poletí stejnou dobu, představa, že bychom vlny jakoby "řezali" při zkracování dráhy, neodpovídá realitě. Světlu se nemůžeme vydat vstříc, jeho rychlost vůči nám zůstává stejná.
V této fázi úvah to vypadá, že obě situace, tedy vzdalující či přibližující se světelné zdroje, od sebe prostě neodlišíte – takže, jaký rudý posun? Samozřejmě – narážíme zde na meze analogií, u zvuku se mluví o rychlosti fázové, u světla o grupové atd. Ale stejně.
Poněkud jsem zapátral v popularizační literatuře a výklad jsem nikde neobjevil. Narazil jsem pouze na vzoreček, který udával posun vlnové délky (jako poměr délky posunuté k délce původní) v závislosti na rychlosti pohybu zdroje. Příslušný vztah má přitom samozřejmě klasickou podobu (použitelnou zhruba pro rychlosti do 0,2 c) a variantu relativistickou. Výklad ale stále scházel, pokud tedy nepřijmeme "vysvětlení" ve stylu "takže se holt rychlost jako taková nemění, ale vlnová délka ano".
Člověka ještě napadne, zda by zakopaný pes nemohl být ještě v relativistické kontrakci délek a dilataci času – problém ale je v tom, že zde se nikde nepočítá se směrem rychlosti (vzdalování vs. přibližování), na čemž je právě založen Dopplerův jev.

Takže můj ručník odletěl do ringu a na řadu nakonec přišla fyzikální poradna, konkrétně doc. Pavel Cejnar. Z jeho odpovědi cituji:

Výpočet relativistického Dopplerova jevů je nakonec dost jednoduchý. Prostě se vezme rovnice vlny:

E(x,t) = A * cos(omega t + kx)

E(x,t)… výchylka vlny v místě x a v čase t
A… amplituda výchylky
omega… kruhová frekvence, omega = 2pí/T, kde
T je časová perioda vlny
k… vlnové číslo, k = 2pí/lambda, kde
lambda je vlnová délka; jiné vyjádření k = omega/c, kde c je rychlost šíření vln, tedy rychlost světla.

Do této rovnice vlny se dosadí Lorentzova transformace pro souřadnici x a čas t, tj. přechod x->x‘, t->t‘ do pohybující se soustavy. A je to.
Výsledná rovnice bude mít opět tvář jako nahoře, jenom frekvence omega a vlnové číslo k budou příslušné modifikovány.
Výsledný vzorec nicméně není stejný jako v nerelativistickém případě, pouze pro rychlosti mnohem menší než c to tak přibližně vychází. Příčný Dopplerův jev se počítá v podstatě stejně.
(poznámka pah: pokud tomu dobře rozumím, v relativistické fyzice dochází k posunu i při jiném pohybu než přímo k pozorovateli/od něj, kde původní názorná představa "uřezávání vln" už zcela selhává)

Je takové vysvětlení uspokojující? Skutečnost, že světlo se šíří ve všech soustavách stejnou rychlostí, je v něm samozřejmě obsažena (to je vlastnost Lorentzovy transformace), ale to už by bylo dost matematické.
Co se týče těch úvah o relativitě času a délky. Nestačí uvažovat jen relativní dilataci času a kontrakci délek, ale skutečně celou transformaci x=x(x‘,t‘) a t=t(x‘,t‘), v níž nová souřadnice x‘ a čas t‘ oboje závisejí jak na původní souřadnici, tak i na čase. Tím vypadne správná rovnice, závisející i na znaménku rychlosti (viz výše).

Tolik tedy Pavel Cejnar.

A na závěr, proč byla v titulku zmíněna kosmická křižovatka? Inu, to mi přijde jako vcelku zajímavá představa do nějakého sci-fi filmu – barva světla a příslušné posuny v závislosti na tom, jak rychle a kam kosmická loď zrovna letí…

autor Pavel Houser