Student World

První má na stěnách následující čísla: 3, 3, 4, 4, 8, 8.

Druhá kostka vypadá takto: 1, 1, 5, 5, 9, 9

Třetí má stěny označené: 2, 2, 6, 6, 7, 7

Samozřejmě předpokládáme, že jednotlivé strany padají se stejnou pravděpodobností.

Úloha je zadána následujícím způsobem: Hodíme si jednou proti svému soupeři a vyhraje ten, komu padne vyšší číslo. Vítěz bere celý bank; je lhostejné, o kolik poraženého přehodí. Jakou kostku zvolit?

Zdroj: Ian Stewart: Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities, 2009

Kromě vlastního řešení má úloha několik dalších překvapivých aspektů (ještě se k nim vrátíme v diskusi k řešení). Tři kostky v našem zadání jsou rámcově „srovnatelné“, součet všech číslic je u nich stejný. Je zde nějaký obecný princip? Máme-li zadán součet, jak zvolit nejvýhodnější kostku, stále za předpokladu, že důležité je s co největší pravděpodobností vyhrát, ale už lhostejno o kolik? (Uvažujme pro jednoduchost trojice jako v našem zadání, tj. 2 stěny mají vždy stejné číselné označení.)

***

Doplnění textu. Jak vidno, žádná z kostek není lepší než zbylé 2, úloha funguje na principu kámen-nůžky-papír. Což mi samo o sobě přijde pro tento typ úulohy nečekané.

Hypotéza: Při stejném povinném součtu neexistuje optimální strategie. Buď hry končí statisticky remízou, nebo platí kámen-nůžky-papír, eventuálně kombinace obou přístupů. Ani žádná jiná strategie u našeho součtu 15 (typu 2-4-9) nebude absolutně lepší ani horší.

Podívejme s ena jednodušší případy. U kostky se 2 stranami je jasné, že 1-4 remizuje s 2-3 atd.

U 3 číslic je první součet umožňující více variant kostky 8: 1-2-5 remizuje s 1-3-4

Přejděme k součtu 9. Máme tyto možnosti, jak ho poskládat.

A: 126

B: 135

C: 234

A remizuje s B a prohraje s C

B remizuje s C

Strategie A je tedy nejméně výhodná, C je optimální, hypotéza je vyvrácena.

Ještě pozor. Zatím jsme uvažovali s omezením, že v trojici se nesmějí nacházet 2 stejná čísla. Změní se něco, když přidáme/připustíme i tyto možnosti?

D: 117

E: 144

F: 225

G: 333

A remizuje s D, remizuje s E i F, ale prohraje s G. Ani v této verzi to prostě není dobrá kombinace.

Existuje tedy strategie, jak vybírat optimální kombinaci (třeba může být víc nejlepších, ale všechny stejně dobré nejsou).

Intuitivně se zdá – neb trojice 1-2-6 je chcípák – že optimální strategie by tedy mohla znamenat nehrát stylem 1 číslice vysoká, 2 nižší (snad proto, že nezáleží na tom, o kolik vyhrajete)? Tedy: jednička a pak 2 číslice co nejblíže k sobě: 1-4-4 v našem případě opravdu s nikým neprohraje. U součtu 15 by tedy nejlepší byla kostka 1-7-7, eventuálně při zákazu opakování číslic 1-6-8? (Opět ve smyslu: Nemusí být nejlepší, ale nemůže existovat lepší.)

Je to ale opravdu tak, nebo se vloudila nějaká chyba? Daly by se tyto úvahy ještě zobecnit? 

autor Pavel Houser