Student World

George Cantor je znám především svým objevem různě "velkých" nekonečen, které jsou popisovány tzv. kardinalitou.

Ačkoliv to na první pohled působí nelogicky, kardinalita množiny celých a sudých čísel je stejná, obou je "stejně", naproti tomu čísel reálných je více. Cantor se zabýval otázkou, zda existují nějaké množiny, jejichž kardinalita se nalézá mezi těmito dvěma "body". Nebyl schopen dojít k jednoznačnému závěru a při tomto studiu zešílel.
Ačkoliv se pro přitažlivost memu "matematik-který-zešílel-ze-své-prácě" často můžeme setkat právě s takovouto interpretací, celá záležitost je zřejmě poněkud složitější. Na Cantorově kolapsu se podílely spíše události osobní povahy (rodinné tragédie, rozporuplné přijetí, jehož se jeho práce dočkala mezi matematiky atd.) než obsah jeho práce. V té je přitom důvodů ke zhroucení skutečně požehnaně.
Množiny na první pohled odlišné se v Cantorově podání často ukazují jako stejné, alespoň pokud jsme schopni mezi jejich prvky definovat přiřazení. Bizarním důsledkem věci je pak několik paradoxů tzv. Hilbertova (Hilbert sám byl samozřejmě taktéž psychicky narušený :-)) hotelu – v zařízení, jehož veškeré pokoje jsou obsazené, můžeme dále ubytovat neomezené množství dalších zájemců – alespoň za předpokladu, že pokojů je nekonečně mnoho. Jde pouze o to, abychom našli příslušné "přiřazení" mezi hosty a pokoji.
Jak se tedy ukazuje, součet dvou "nekonečen" je opět toto nekonečno. Totéž pak platí pro jejich násobení a umocňování, a to dokonce opět na toto nekonečno.
Nicméně existuje způsob, jak z jednoho nekonečna získat další s vyšší kardinalitou než to předešlé. Protože tento postup lze stále opakovat, neexistuje žádné nekonečno s nejvyšší možnou kardinalitou.
Bohužel, jako by podivností nebylo málo, existují množiny, jejichž kardinalita je vyšší než jejich kardinalita. Jak uvádí např. John D. Barrow v knize Pí na nebesích, "Cantor sám to nepovažoval za žádný paradox". Pod tímto úhlem pohledu se nezdá, že by problém existence množin, jejichž kardinalita je mezi celými a reálnými čísly, mohl Cantorem nějak zvlášť otřást :-).

autor Pavel Houser