Student World

Používají tedy matematické pojmy, vztahy a rovnice vyvinuté s ohledem na jejich aplikaci a často právě pro zkoumanou oblast. V těchto případech mají badatelé sklon spoléhat na podobnost mezi vlastnostmi matematických konceptů a pozorovanými jevy nebo výsledky experimentů. Účinnost matematiky se nám možná v takových případech nezdá tolik překvapivá, protože lze podotknout, že její teorie zde byly ušity na míru zkoumanému oboru. Existuje ovšem jedna pozoruhodná složka „aktivního“ využití, která se vztahuje k přesnosti a které se budu věnovat o něco později. O „pasivní“ účinnosti mluvíme v případech, kdy byly vyvinuty zcela abstraktní matematické teorie bez jakýchkoli zamýšlených aplikací, které se ovšem později přemění na vysoce účinné předpovědní fyzikální modely. Krásným příkladem souhry mezi aktivní a pasivní účinnosti je teorie uzlů.

Uzly

Uzly jsou fenomény, které vstoupily i do starých legend. Připomeňme si jen starořecký mýtus o gordickém uzlu. Věštec obyvatelům Frýgie předpověděl, že jejich příštím králem bude muž, který vjede do hlavního města na volském potahu. Králem se tak stal nic netušící sedlák Gordius, který náhodou jel právě do města. Naplněn vděčností věnoval Gordius svůj vůz bohům a uvázal jej v chrámě ke sloupu spletitým uzlem, který nikdo nedokázal rozplést. Pozdější proroctví věštilo, že člověk, který uzel rozváže, se stane králem celé Asie. Jak osud určil, muž, který uzel nakonec uvolnil (v roce 333 př. n. l.), byl Alexandr Veliký, který se poté skutečně stál vládcem Asie. Alexandrovo řešení gordického uzlu ovšem nebylo takové, jaké bychom označili za rafinovaně promyšlené nebo třeba jen poctivé – před zraky shromážděných přesekl uzel svým mečem!

Nemusíme se však vracet až do starověkého Řecka, abychom se setkali s uzly. Dítě, které si zavazuje tkaničku, dívka, která si splétá copy, babička pletoucí svetr nebo námořník, který ukotvuje loď, ti všichni používají uzly různých druhů. Spousta uzlů dokonce dostala nápadité názvy jako „rybářský“, „Angličanova vázanka“, „kočičí pracka“, „milencův uzel“, „babský uzel“ nebo „katův uzel“. Zejména námořní uzly byly odjakživa považovány za tak důležitou věc, že v Anglii 17. století vznikla na toto téma celá řada knih. Jednu z nich mimochodem sepsal dobrodruh John Smith (1580–1631), který proslul svým romantickým vztahem k indiánské princezně Pocahontas.

Matematická teorie uzlů se zrodila roku 1771 v pojednání francouzského matematika Alexandra-Théophila Vandermondea (1735–1796). Vandermonde byl první, kdo si uvědomil, že uzly je možné studovat v rámci oboru geometrie polohy, která pracuje pouze s polohovými vztahy a ignoruje velikosti a počítání s veličinami. Druhým člověkem, který se zasloužil o rozvoj teorie uzlů, byl německý „princ matematiky“ Carl Friedrich Gauss. Několik Gaussových poznámek obsahuje náčrtky a podrobné popisy uzlů spolu s některými analýzami jejich vlastností. Vandermondeovy a Gaussovy práce spolu se studiemi některých matematiků 19. století byly sice důležité, hlavní hybná síla moderní matematické teorie uzlů však měla nečekaný zdroj – byla jí snaha o vysvětlení struktury hmoty. Ona myšlenka se zrodila v hlavě slavného anglického fyzika Williama Thomsona, známého dnes spíše jako lord Kelvin (1824–1907). Thomsonovo úsilí se zaměřovalo na formulaci teorie atomů, základních stavebních kamenů hmoty. Jeho vskutku nápaditá hypotéza říkala, že atomy jsou vlastně zauzlené trubičky éteru – oné tajemné substance, o které se věřilo, že proniká celým prostorem. Různorodost chemických prvků by tak podle tohoto modelu mohla být projevem bohatého spektra různých uzlů.

Jestliže dnes Thomsonova spekulace zní téměř bláznivě, je to jen proto, že jsme měli celé století na experimentální otestování správného modelu atomu, v němž elektrony obíhají kolem atomového jádra, a na to, abychom si na to zvykli. V 60. letech 19. století však byl Thomson hluboce fascinován stabilitou svých složitých prstenců a jejich schopností vibrovat, což byly dvě vlastnosti, které se tehdy pro modelování struktury atomu považovaly za nezbytné. Thomson měl v úmyslu vypracovat uzlovou obdobu periodické tabulky prvků, a proto musel uzly klasifikovat a zjistit, jaké uzly jsou možné; právě tento zájem o tabulkovou klasifikaci vyvolal vážný zájem o matematiků uzlů.

Jak jsme si už vysvětlili v první kapitole, matematický uzel vypadá jako známý uzel na provázku, až na to, že konce provázku jsou spojené. Jinými slovy, matematický uzel se znázorňuje pomocí zauzlené křivky bez volných konců. Několik příkladů máme na obrázku 54 (poznámka: rámcově by text měl být srozumitelný i bez obrázků), kde vidíme trojrozměrné uzly promítnuté do roviny. Prostorová poloha dvou křižujících se vláken je naznačena přerušenou linií spodního vlákna. Nejjednodušší uzel, takzvaný nulový uzel, je pouze uzavřenou kruhovou křivkou (na obrázku 54a). V trojlístkovém uzlu (na obrázku 54b) se vlákno kříží ve třech bodech a osmičkový uzel (obrázek 54c) má čtyři překřížení. Podle Thomsonovy teorie by tyto tři uzly mohly být v principu modely tří atomů o rostoucí složitosti jako vodíku, uhlíku a kyslíku. Stále však bylo zoufale zapotřebí klasifikace uzlů a tím, kdo se takového roztřídění ujal, byl Thomsonův přítel, skotský matematický fyzik Peter Guthrie Tait (1831–1901).

Otázky, které si matematici kladou o uzlech, se vlastně příliš neliší od toho, na co bychom se mohli ptát ohledně obyčejného zauzlovaného provazu nebo zašmodrchané koule příze. Jsou skutečně zauzlené? Není jeden uzel pouhou obdobou jiného? Význam této poslední otázky je prostý: je možné jeden uzel zformovat do jiného tvaru bez přerušení vlákna nebo bez kouzelnického protlačení jedné části vlákna druhou?

Určitými manipulacemi lze získat dvě velmi odlišné podoby téhož uzlu. Teorie uzlů v konečném důsledku hledá určitý přesný způsob, jak dokázat, že některé uzly (například trojlístkový nebo osmičkový) jsou opravdu rozdílné. Důležité přitom je ignorovat odlišné vnějškové podoby uzlů.

Taitovi se začínalo s prací na klasifikaci uzlů velmi těžce. Neměl k dispozici žádné jednoznačné matematické principy, které by ho vedly, a tak sestavoval soupisy křivek s jedním křížením, dvěma, třemi překříženími a tak dále. Ve spolupráci s reverendem Thomasem Penyngtonem Kirkmanem (1806–1895), který se ve volném čase věnoval matematice, začal postupně probírat všechny křivky, aby eliminoval zdvojování ekvivalentních uzlů. Nebyl to žádný triviální úkol. Musíme si uvědomit, že u každého překřížení lze zvolit ze dvou možností poloh vláken, musíme tedy určit, které bude dole a které nahoře. Znamená to, že jestliže křivka obsahuje řekněme sedm překřížení, existuje 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128 možných uzlů. Jinak řečeno, lidé mají příliš krátký život, než aby tímto intuitivním způsobem chtěli zpracovávat klasifikaci uzlů s deseti nebo více kříženími. Taitova práce však nezapadla bez ocenění. Velký fyzik James Clerk Maxwell, tvůrce klasické teorie elektřiny a magnetismu, přistupoval ke Thomsonově teorii atomu s respektem a prohlásil, že „splňuje více podmínek než jakákoli jiná dosud uvažovaná podoba atomu“. Stejně tak si byl Maxwell dobře vědom Taitova příspěvku a oslavil ho následujícími verši:

Klubko uzlů rozmotal,

v dokonalé splývání,

smyčky a spojky pevně ustálil

do vzájemných proplétání.

Do roku 1877 Tait roztřídil střídavé uzly až do sedmi překřížení. Střídavé uzly jsou takové, u nichž se tatáž část vlákna kříží střídavě nad a pod druhou částí, podobně jako se proplétá vlákno ve tkaném koberci. Tait rovněž učinil několik pragmatičtějších objevů v podobě návrhů základních principů, jimž se později začalo říkat Taitovy hypotézy. Tyto domněnky se mimochodem podařilo dokázat až ke konci 80. let 20. století. V roce 1885 Tait zveřejnil tabulky uzlů až do deseti křížení a tady se rozhodl svou práci ukončit. Nezávisle na něm publikoval roku 1899 své tabulky nestřídavých uzlů až do deseti křížení profesor Nebraské univerzity Charles Newton Little (1858–1923).

Lord Kelvin vzpomínal na Taita vždy s láskou. Na slavnosti na cambridgeské Peterhouse College, kde byl odhalen Taitův portrét, Kelvin pronesl:

Vzpomínám si, že Tait jednou poznamenal, že nemá smysl žít pro nic jiného než pro vědu. Bylo to řečeno upřímně, sám Tait však dokázal, že to není pravda. Tait byl velký čtenář. Dovedl zpaměti citovat Shakespeara, Dickense a Thackeraye. Měl fantastickou paměť. Co jednou se zanícením přečetl, to si už navždy pamatoval.

(pokračování)

Tento text je úryvkem z knihy

Mario Livio: Je Bůh matematik?

Argo a Dokořán, 2010

O knize na stránkách vydavatele

autor