Student World

24. května roku 2000 oznámili v přednáškové síni univerzity College de France v Paříži dva přední světoví matematikové, sir Michael Atiyah z Velké Británie a John Tate z USA, že bude vyplacen jeden milion amerických dolarů osobě nebo osobám, která(é) jako první vyřeší kterýkoli ze sedmi nejtěžších otevřených matematických problémů. Tyto problémy, jak řekli, budou od nynějška nazývány "problémy tisíciletí“.

Sedm milionů dolarů, tedy jeden milion za každý problém, poskytl zámožný americký majitel investičních fondů a obdivovatel matematiky, pan Landon Clay. Rok předtím založil ve svém domovském městě Cambridge ve státě Massachusetts Clayův matematický ústav (CMI), neziskovou organizaci zaměřenou na propagaci a podporu matematického výzkumu. CMI zorganizoval pařížské zasedání a vzal si na starost organizaci soutěže o ceny tisíciletí.

Sedm problémů vybírala po několik měsíců malá skupina mezinárodně uznávaných matematiků, zvolených vědeckou radou CMI pod vedením zakládajícího ředitele CMI, doktora Arthura Jaffeho. Jaffe byl dříve prezidentem Americké matematické společnosti a dnes zastává místo profesora matematiky na Harvardově univerzitě, které sponzoruje Clay. Komise se shodla na tom, že vybrané problémy představují nejzávažnější dosud nezodpovězené matematické otázky. Většina matematiků s tím bude souhlasit. Tyto problémy jsou středem pozornosti hlavních matematických disciplín a zatím úspěšně odolávají jakýmkoli pokusům o zdolání nejlepšími světovými matematiky.

Jedním z expertů, kteří seznam problémů sestavovali, byl sir Andrew Wiles, který před šesti lety dokázal velkou Fermatovu větu. To, že se tuto větu podařilo dokázat, byl nepochybně jediný důvod, proč se tento 330 let starý rébus na seznam nedostal. Kromě Jaffeho byli dalšími odborníky Atiyah a Tate, kteří měli v Paříži již zmíněnou přednášku, dále Alain Connes z Francie a Edward Witten ze Spojených států….

Představte si na okamžik, že by Landon Clay vypsal ceny nikoli pro matematiku, ale pro nějakou jinou vědu, řekněme pro fyziku, chemii nebo biologii. K vyložení sedmi nejdůležitějších problémů v některé z těchto disciplín by zcela nepochybně nebylo zapotřebí celé knihy. Nejspíš by stačil tří- nebo čtyřstránkový článek v časopise. Vskutku, při každoročním udílení Nobelovy ceny často zvládnou noviny a časopisy sdělit čtenáři podstatu vítězného vědeckého výsledku v několika odstavcích.

S matematikou nic podobného obecně provádět nelze. Matematika je jiná. Čím to však je, že se tak odlišuje?

Odpověď lze částečně vyčíst z pozorování, které jako první (jak se alespoň domnívám) učinil americký matematik Ronald Graham, jenž stál po většinu své kariéry v čele matematického výzkumu v Bellových laboratořích, spadajících tehdy pod společnost AT&T. Podle Grahama je matematik jediným druhem vědce, který může oprávněně prohlásit: "Lehnu si na gauč, zavřu oči a pracuji“.

Matematika je skoro výhradně cerebrální — vykonaná práce se neodehrává v kanceláři nebo v továrně, ale v hlavě. Samozřejmě, tato hlava je připojena k tělu, které se zrovna může nacházet v kanceláři — nebo na gauči — vlastní matematické postupy ale probíhají v hlavě bez jakéhokoli přímého spojení s fyzickým světem. Tím nechci říci, že by vědci z jiných oborů nepracovali hlavou. Ale ve fyzice, chemii nebo biologii je předmětem vědcova zájmu obvykle nějaký jev z reálného fyzického světa. I když ani já ani vy nemůžeme vstoupit do vědcovy mysli a zjistit, o čem přemýšlí, přeci jen žijeme ve stejném světě. Tento fakt nás zásadním způsobem spojuje a dává nám základní platformu, jejímž prostřednictvím nám může vědec své úvahy vysvětlit. Dokonce i v případech, kdy se kupříkladu fyzikové snaží porozumět kvarkům nebo kdy biologové zápolí s DNA, dokáže o těchto objektech bez problémů přemýšlet i vědecky netrénovaná mysl, ačkoli s nimi nepřichází denně do styku. Typická umělecká ztvárnění kvarků coby shluků barevných kulečníkových koulí nebo DNA jako točitých schodišť mohou sice v hlubším smyslu být "nesprávná“ (a také ve skutečnosti jsou), ale jako ilustrace, které nám umožňují vyvolat v duchu obraz vědy, fungují výborně.

Matematika žádné takové nápomocné propojení s realitou nemá. I v případech, kdy lze načrtnout nějaký obrázek, bude nejspíš ilustrace sice názorná, ale také zavádějící, takže při výkladu je pak třeba nedostatky obrázku nahradit vhodným komentářem. Jak má ale čtenář nematematik takovému komentáři porozumět, když se použitá slova nebudou vztahovat k ničemu, co by znal z každodenní zkušenosti?

Dokonce i pro oddaného příznivce matematiky se tento úkol bude stávat těžším a těžším, jak bude míra abstrakce narůstat a předměty diskuse budou stále vzdálenější od reálného světa. Vskutku, u některých soudobých problémů (a sem patří například právě Hodgeova domněnka) jsme nejspíše dosáhli situace, ve které se nezasvěcená osoba už nemá možnost zapojit. Nejde o to, že lidská mysl potřebuje čas, aby se sžila s pojmy na nové úrovni abstrakce. Tak tomu bylo vždy. Jde spíše o to, že možná hloubka a rychlost růstu abstrakce dosáhly takové úrovně, že už může stačit jen odborník.

Před dvěma a půl tisíci lety dokázal mladý Pythagorův žák, že druhá odmocnina z čísla 2 není racionálním číslem, takže ji není možné vyjádřit pomocí zlomku. To znamená, že soubor čísel, tehdy považovaný za ten pravý (tedy celá čísla a zlomky), nestačí ke změření délky přepony pravoúhlého trojúhelníka, jehož obě odvěsny měří shodně jednu délkovou jednotku. Objev znamenal pro pythagorejce takový šok, že se jejich matematický výzkum v podstatě zastavil. Časem nalezli matematici způsob, jak z toho ven: pozměnili svůj přístup k věci a zavedli čísla, která dnes nazýváme čísly reálnými. Řekové považovali za základní systém soubor čísel vycházejících z počítání (tedy "přirozená čísla“) a pro účely měření vzdáleností jej rozšířili na bohatší množinu ("racionálních čísel“). Museli tedy uznat podíl dvou přirozených čísel rovněž za číslo. Po zjištění, že racionální čísla na měření vzdáleností nestačí, opustili pozdější matematikové tuto koncepci a prohlásili, že čísla jsou prostě body na přímce! To byla zásadní změna a trvalo další dva tisíce let, než se podařilo vypracovat všechny související podrobnosti. Teprve koncem devatenáctého století byla dokončena přesná teorie reálných čísel. Ještě i dnes, navzdory jednoduché představě o reálných číslech jakožto o bodech na přímce, je jejich formální (a vysoce abstraktní) definice postrachem pro vysokoškolské studenty.

Obdobný zápas se vedl kvůli číslům menším než nula. Dnes si představujeme záporná čísla jednoduše jako body ležící nalevo od nuly, jejich zavedení ale matematici odolávali až do poloviny devatenáctého století. Podobný problém představuje pro mnoho lidí myšlenka, že by se měli smířit s komplexními čísly — tedy těmi, která obsahují odmocninu ze záporné hodnoty — přestože je k dispozici jednoduchý intuitivní obraz komplexních čísel jakožto bodů v rovině.

V dnešní době pracuje s reálnými, komplexními a zápornými čísly bez problémů dokonce i mnoho nematematiků. A to přesto, že tato čísla představují vysoce abstraktní koncepty a s počítáním (tedy s procesem, díky kterému před nějakými deseti tisíci lety čísla vznikla) mají jen velmi málo společného, a navzdory tomu, že se v našem každodenním životě s žádnými konkrétními příklady iracionálních reálných čísel nebo s číslem obsahujícím odmocninu z -1 nesetkáváme.

V geometrii způsobil v osmnáctém století odborníkům i nematematikům podobné obrovské koncepční potíže objev existence jiných geometrií než té, kterou popsal Eukleides ve své slavné knize Základy. Myšlenka "neeukleidovských geometrií“ se dočkala obecného přijetí až v devatenáctém století. Ke smíru došlo bez ohledu na to, že náš každodenní svět je výhradně eukleidovský.

S každým novým koncepčním skokem si museli i matematikové zvykat na nové myšlenky a přijmout je za součást celkového obecného rámce, na jehož základech dělají svou práci. Ještě nedávno byla rychlost pokroku v matematice taková, že zaujatý pozorovatel stačil zažít jednu změnu dříve, než přišla další. To se drasticky změnilo. Abychom porozuměli Riemannově hypotéze (tedy prvnímu problému na seznamu), musíme bezpečně ovládat nejen komplexní čísla (a jejich aritmetiku) a pokročilou matematickou analýzu, ale musíme navíc ještě pochopit, jak sečíst nekonečně mnoho (komplexních) čísel a jak mezi sebou nekonečně mnoho (komplexních) čísel vynásobit.

Takové znalosti jsou dnes již téměř výhradně výsadou těch, kdo vystudovali matematiku na univerzitě. Jen oni mohou vnímat Riemannovu hypotézu jako jednoduché tvrzení, asi tak jako průměrný člověk chápe Pythagorovu větu. V této knize si dáme za úkol nejen vysvětlit, co Riemannova hypotéza říká, ale také vyložit potřebný přípravný materiál. Obvykle jej není možné přiblížit pomocí jevů, které vídáme v každodenním životě, tedy způsobem, jakým postupují fyzikové. Například Brian Greene vysvětluje nejmodernější, nejhlubší a nejvybroušenější teorii vesmíru, tedy teorii superstrun, pomocí jednoduchého názorného obrazu malinkých vibrujících energetických cyklů (což jsou právě ony "struny“). Většina matematických koncepcí však nevychází z každodenních jevů, ale ze starších matematických koncepcí. Takže jediný způsob, jak takové koncepci alespoň povrchně porozumět, znamená pochopit dlouhý řetěz předcházejících abstrakcí.

Měli bychom však neustále mít na paměti, že matematik patří ke stejnému živočišnému druhu jako my všichni (opravdu, věřte mi). Všechny problémy tisíciletí jsou samozřejmě lidské mysli dostupné. Koncepce, které obsahují, a struktury, se kterými pracují, nejsou zas až tak neproniknutelně obtížné, spíše jsou jen velice vzdálené — podobně, jako by připadala starověkým Řekům nepochopitelná a vzdálená myšlenka komplexních čísel nebo neeukleidovských geometrií. Dnes, když jsme si na tyto pojmy zvykli, je nám jasné, že vlastně přirozeně vycházejí z materiálu, který Řekové považovali za běžnou matematiku. Takže možná nejlepší způsob, jak přistupovat k této knize, je považovat sedm problémů za běžnou matematiku pětadvacátého století.

úryvek z knihy:
Keith Devlin
Problémy pro třetí tisíciletí.
Sedm největších nevyřešených otázek matematiky

Dokořán a Argo, Praha, 2005, http://www.dokoran.cz/index.php?p=book.php&id=173

autor