Student World

***pravidelné páteční „přetištění“ staršího článku

Zdánlivě samozřejmé tvrzení, že si můžeme představit třídimenzionální objekty, kdežto čtyřdimenzionální ne, při bližším zkoumání neobstojí. Představovat si nějakou věc je podobné jako se na ni dívat, ale mezi těmito dvěma situacemi jsou i podstatné rozdíly. Když si máme představit místnost, kterou známe, ne však důvěrně, nedělá nám to potíže. Když se nás ale někdo zeptá, kolik je tam židlí nebo jakou barvu má podlaha, často nedokážeme odpovědět. To ukazuje, že ať už je představa cokoliv, není to fotografický otisk skutečnosti.
V matematickém kontextu hlavní rozdíl mezi schopností a neschopností si něco představit je, že když si to představit dovedeme, můžeme odpovídat na otázky přímo, aniž bychom se museli zamyslet a počítat. To samozřejmě platí jen do určité míry, ale to neznamená, že to není opravdový rozdíl. Když máme říct, kolik má třídimenzionální krychle hran, můžeme „nahlédnout“, že má čtyři hrany kolem horní podstavy, čtyři kolem dolní a čtyři svislé, celkem dvanáct.
„Nahlédnout“ něco ve vyšší dimenzi je těžší a někdy nezbývá, než argumentovat podrobněji, jak jsem ilustroval v příkladu s hranami pětidimenzionální krychle. Ale někdy to jde. Například čtyřdimenzionální krychli si můžeme představovat jako dvě protilehlé třídimenzionální krychle, jejichž odpovídající vrcholy jsou spojené hranami (ve čtvrté dimenzi), podobně jako třídimenzionální krychle je udělaná ze dvou protilehlých čtverců a hran spojujících jejich odpovídající vrcholy. I když nemáme úplně zřetelnou představu čtyřdimenzionálního prostoru, můžeme přesto „nahlédnout“, že každá ze dvou třídimenzionálních krychlí má 12 hran a 8 hran je spojuje dohromady, jedna za každý vrchol, což je dohromady 12 + 12 + 8 = 32. Potom můžeme i „nahlédnout“, že pětidimenzionální krychle sestává ze dvou čtyřdimenzionálních, zase s příslušnými spojnicemi odpovídajících vrcholů. To je celkem 32 + 32 + 16 = 80 hran (32 za každou čtyřdimenzionální krychli a 16 hran mezi), přesně jako jsme spočítali předtím. Takže máme jakousi rudimentární schopnost si čtyřdimenzionální a pětidimenzionální objekty představovat. Je to přirozeně daleko obtížnější než pro objekty třídimenzionální — například nedokážu přímo odpovědět na otázky o tom, co se stane, když se čtyřdimenzionální krychlí otočí, kdežto pro třídimenzionální to umím — ale také je to o poznání snazší, než si představovat věci 53dimenzionální. A tak by to být nemohlo, kdybychom vůbec žádnou vícedimenzimenzionální představivost neměli. Někteří matematici se specializují na čtyřdimenzionální geometrii a jejich schopnost čtyřdimenzionálního vidění je vysoce rozvinutá.
Toto psychologické pozorování má v matematice význam širší než jen pro geometrii. Jeden z půvabů života zasvěceného matematickému výzkumu je, že jak člověk získává zkušenost, dokáže „nahlédnout“ věci, které by mu dřív zabraly hodinu nebo dvě usilovného přemýšlení, a netýká se to jen otázek geometrických. Elementární příklad je tvrzení, že 471 * 638 = 638 * 471. To se dá ověřit tak, že se obě násobení provedou a výsledky se porovnají. Ale když si místo toho představíme body uspořádané do mřížky ve tvaru obdélníka o stranách 471 a 638, vidíme, že první součin počítá body po řádcích a druhý po sloupcích, takže musí samozřejmě vyjít totéž. Všimněme si, že představa se zde velmi liší od fotografie: opravdu jsme si představili obdélník 471 krát 638, a ne třeba 463 krát 641? Dokázali bychom to zkontrolovat tak, že bychom spočítali body podél kratší strany?

K čemu je vícedimenzionální geometrie?
Jedna věc je ukázat, že idea vícedimenzionální geometrie není nesmyslná, ale úplně jiná věc je vysvětlit, proč by se měla brát vážně. Tvrdil jsem, že ji lze použít jako model, ale jak je to možné, když obýváme prostor třídimenzionální?
Na to je odpověď jednoduchá. Model může mít mnoho různých aplikací. I dvoudimenzionální a třídimenzionální geometrie se používají na řadu jiných věcí než jen na modelování fyzikálního prostoru. Například pohyb objektu často znázorňujeme grafem, ukazujícím závislost uražené vzdálenosti na čase. Takový graf bude křivka v rovině, a její geometrické vlastnosti odpovídají informacím o pohybu. Proč je pro modelování pohybu vhodná dvoudimenzionální geometrie? Protože nám jde o dva údaje, čas a uraženou vzdálenost, a jak jsme řekli, na dvoudimenzionální prostor můžeme nahlížet jako na množinu dvojic čísel.
To naznačuje, proč by mohla být užitečná geometrie vícedimenzionální. Možná ve vesmíru žádný vícedimenzionální prostor není, ale je řada situací, kdy potřebujeme pracovat se soubory několika čísel.
Vícedimenzionální geometrie je velmi významná třeba v ekonomii. Když se například rozmýšlíme, jestli máme nakoupit akcie nějaké firmy, většina informací, která nám v rozhodování může pomoct, přichází v číselné formě — počet zaměstnanců, hodnota různých aktiv, cena surovin, úroková míra a tak dále. Tato čísla seřazená do posloupnosti můžeme považovat za bod ve vícedimenzionálním prostoru. O co se snažíme, nejspíš porovnáním s mnoha podobnými firmami, je identifikovat určitou oblast tohoto prostoru, oblast, v níž je vhodné akcie nakoupit.

Tento text je úryvkem z knihy:
Tim Gowers: Matematika – průvodce pro každého
podrobnosti o knize http://www.dokoran.cz/index.php?Matematika&p=book.php&id=246

autor